Question

如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．

（1）求BC的长；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

考点：

切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理．

分析：

（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；

（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．

解答：

（1）解：连接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，

∴弧BC与弧AC的度数为：60°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OC=2；

（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，

∴BC=CP，

∴∠CBP=∠CPB，

∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=∠OCB=60°，

∴∠CBP=30°，

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，

∴OB⊥BP，

∵点B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线．

点评：

此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．