Question

设a、b、c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b＝n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

Answer 1

答案：
解析：

解析：我们先来研究一些特殊情况： 　　(1)设b＝n＝1，这时b＝1，因为a≤b≤c，所以a＝1，c可取1，2，3，…．若c＝1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b＝2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b＝n＝1时，满足条件的三角形只有一个． 　　(2)设b＝n＝2，类似地可以列举各种情况如下表． 　　这时满足条件的三角形总数为：1＋2＝3． 　　(3)设b＝n＝3，类似地可得下表． 　　这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3＝6． 　　通过上面这些特例不难发现，当b＝n时，满足条件的三角形总数为：1＋2＋3＋…＋n＝． 　　这个猜想是正确的．因为当b＝n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a＝k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k－1)．所以，当b＝n时，满足条件的三角形总数为：1＋2＋3＋…＋n＝．