Question

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．
又由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．