Question

如图，M在x轴上，⊙M交x轴于A、B，交y轴于D、F，D为

AC

的中点，AC交OD于E，交BD于N，
（1）求证：AE=DE；
（2）若AC=4，求点D的坐标；
（3）探究：EM与BN之间的数量关系和位置关系．

Answer 1

分析：（1）连结AD，由AB⊥DF，根据垂径定理得

AD

=

AF

，而

AD

=

DC

，则

DC

=

AF

，再根据圆周角定理得∠DAC=∠ADF，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到AE=DE；
（2）连结DM交AC于H，由D为

AC

的中点，根据垂径定理的推论得DM⊥AC，AH=CH=

1

2

AC=2，再利用等角的余角相等得∠ODM=∠HAM，然后根据“AAS”可判断△ODM≌△HAM，于是有OD=HA=2，则可确定D点坐标；
（3）由△ODM≌△HAM得到MO=MH，根据“HL”可判断Rt△MHE≌Rt△MOE，则∠1=∠2，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠MDB+∠B，易得∠1=∠B，根据平行线的判定得到ME∥BN，然后由M为AB的中点确定ME为△ABN的中位线，再根据三角形中位线性质即可得到ME=

1

2

BN．

解答：（1）证明：连结AD，如图，
∵M在x轴上，⊙M交x轴于A、B，
∴AM为⊙M的半径，
而AB⊥DF，
∴

AD

=

AF

，
∵D为

AC

的中点，
∴

AD

=

DC

，
∴

DC

=

AF

，
∴∠DAC=∠ADF，
∴AE=DE；

（2）解：连结DM交AC于H，如图，
∵D为

AC

的中点，
∴DM⊥AC，AH=CH，
∴∠AHM=90°，AH=

1

2

AC=2，
∵∠ODM+∠DMO=90°，∠MAH+∠AMH=90°，
∴∠ODM=∠HAM，
在△ODM和△HAM中，

∠DOM=∠AHM ∠ODM=∠HAM MD=MA

，
∴△ODM≌△HAM（AAS），
∴OD=HA=2，
∴D点坐标为（0，2）；

（3）解：EM∥BN且EM=

1

2

BN．理由如下：
∵△ODM≌△HAM，
∴MO=MH，
在Rt△MHE和Rt△MOE中

MH=MO ME=ME

，
∴Rt△MHE≌Rt△MOE（HL），
∴∠1=∠2，
∵∠AMD=∠MDB+∠B，即∠1+∠2=∠MDB+∠B，
而∠MDB=∠B，
∴∠1=∠B，
∴ME∥BN，
∵M为AB的中点，
∴ME为△ABN的中位线，
∴ME=

1

2

BN．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、圆周角定理和三角形中位线性质；会运用等腰三角形的判定和三角形全等证明线段相等．