Question

如图1已知抛物线y=x²-ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，-4）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为第四象限的抛物线上一点，DM交x轴于N，且S_△OCN=S_{四边形OCDB}，求点M的坐标；
（3）如图2，在y轴上是否存在点P，使△PBD为等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知顶点P的坐标，利用顶点式求抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可得C（0，-3），D（1，-4），B（3，0），可求S_{四边形OCDB}，已知OC=3，由S_△OCN=S_{四边形OCDB}，可求ON，确定N点坐标，再求直线DN解析式，与抛物线解析式联立即可；
（3）存在．分别以B、D为圆心，BD为半径画弧，与y轴相交，有四个点，作BD的垂直平分线与y轴相交，有一个点．

解答：解：（1）∵抛物线顶点为D（1，-4），
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）如图1，抛物线的顶点为D（1，-4），作DE⊥x轴，垂足为E，
则S_{四边形OCDB}=S_梯形OCDE+S_△BDE=

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×4×2=

15

2

，
∴S_△OCN=S_{四边形OCDB}=

15

2

，
∵OC=3，
∴ON=5，
由D（1，-4），N（5，0）得直线DN解析式为y=x-5，
联立

y=x-5 y=x2-2x-3

，
解得

x=1 y=-4

或

x=2 y=-3

，
∴M（2，-3）；

（3）由已知得BD=

(3-1)2+42

=2

5

，
当P在BD垂直平分线上时，P（0，-1）
当B为等腰三角形顶点时，P（0，

11

）或（0，-

11

），
当D为等腰三角形顶点时，P（0，

19

-4）或（0，-

19

-4）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，根据面积关系求N点坐标，根据等腰三角形的性质求P点坐标．