Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=2AD，DE=CE，BE、AC交于F，求证：
（1）△BCD为等腰直角三角形；
（2）△ABC∽△EDB；
（3）DF⊥BE．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥BC于H，由AB=AD得到四边形ABHD为正方形，则∠DBH=45°，由BC=2AD得HC=DH，则△DHC为等腰直角三角形，所以∠DCB=45°，于是可判断
△BCD为等腰直角三角形；
（2）设AB=a，则BC=2a，HC=a，DC=

2

a，BD=

2

a，由DE=CE得DE=

2

2

a，于是可计算出

AB

AE

=

BC

BD

=

2

，加上∠ABC=∠EDB=90°，根据相似三角形的判定方法即可得到△ABC∽△EDB；
（3）由△ABC∽△EDB得到∠1=∠3，而∠1=∠2，所以∠2=∠3，于是可判断点A、B、F、D四点共圆，则∠BAD+∠BFD=180°，即可得到∠BFD=90°．

解答：证明：（1）作DH⊥BC于H，如图，
∵∠ABC=∠BAD=90°，
而AB=AD，
∴四边形ABHD为正方形，
∴∠DBH=45°，
∵BC=2AD，
∴HC=DH，
∴△DHC为等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形；

（2）设AB=a，则BC=2a，HC=a，DC=

2

a，
∴BD=

2

a，
∵DE=CE，
∴DE=

2

2

a，
∴

AB

AE

=

a

2 2 a

=

2

，

BC

BD

=

2a

2 a

=

2

，即

AB

AE

=

BC

BD

，
而∠ABC=∠EDB=90°，
∴△ABC∽△EDB；

（3）∵△ABC∽△EDB，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴点A、B、F、D四点共圆，
∴∠BAD+∠BFD=180°，
∴∠BFD=90°，
∴DF⊥BE．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且它们的也夹角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了梯形的性质、等腰直角三角形的性质以及圆内接四边形的判定与性质．