Question

【题目】已知等腰三角形ABC的三个顶点都在直径为10的⊙O上，如果圆心O到BC的距离为3，那么三角形ABC的面积为_________.

Answer 1

【答案】8或32或30.72（）

【解析】

此题分情况考虑：①当BC是底边，△ABC是锐角三角形时；②当BC是底边，△ABC是钝角三角形时；③当BC是腰时；分别根据勾股定理和垂径定理求出等腰三角形的底边长和底边上的高，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：分情况讨论：

①当BC是底边，△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，如图1，

∵AB＝AC，O为外心，

∴AD⊥BC，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴AD＝5＋3＝8，BC＝2BD＝8，

∴三角形ABC的面积＝×8×8＝32；

②当BC是底边，△ABC是钝角三角形时，连接AO交BC于点D，如图2所示，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴AD＝53＝2，BC＝2BD＝8，

∴三角形ABC的面积＝×2×8＝8，

③当BC是腰时，连接BO并延长到AC于点E，作OD⊥BC于点D，如图3所示，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴BC＝2BD＝8，

设OE=x，

在Rt△COE中，，

在Rt△BCE中，，

∴，

解得：，

∴，，

∴

∴三角形ABC的面积＝，

故答案为：8或32或．