Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠BCE＝∠CAB，CE交AB的延长线于点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若CE＝3，BE＝2，求CD的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)直线DE与⊙O相切． 　　证明：如图，连结OC． 　　∵AB是⊙O的直径， 　　∴∠ACB＝90°． 　　∵OA＝OC， 　　∴∠OAC＝∠ACO． 　　∵∠BCE＝∠CAB， 　　∴∠BCE＝∠ACO． 　　∵AB是⊙O的直径， 　　∴∠ACB＝90°． 　　∴∠BCE＋∠BCO＝∠BCO＋∠ACO＝∠OCE＝90°．　1分 　　∴DE是⊙O的切线．　2分 　　(2)∵∠BCE＝∠CAB，∠BEC＝∠CEA， 　　∴△BEC∽△CEA． 　　∴CE∶AE＝BE∶CE． 　　∵CE＝3，BE＝2， 　　∴3∶AE＝2∶3． 　　∴AE＝．　3分 　　∵AD⊥AB，AB是⊙O的直径， 　　∴DA是⊙O的切线． 　　∴AD＝CD．　4分 　　在Rt△ABC中，由勾股定理得AD2＋AE2＝DE2， 　　∴． 　　∴CD＝．　5分