Question

11．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABE、ACD，BD与CE相交于点O．
（1）EC=BD吗？为什么？
（2）如果要使△ABE和△ACD全等，那么还需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？此时∠BOC是多少度？

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得：AE=AB，AC=AD，∠EAB=∠CAD=60°，所以∠EAC=∠BAD，可以证明△AEC≌△ABD，则EC=BD；
（2）添加条件：AB=AC，则两个等边三角形的6条边相等，则△ABE和△ACD全等，并根据外角的性质可知：∠BOC=∠OCD+∠BDC=120°．

解答 解：（1）如图1，EC=BD，理由是：
∵△ABE、△ACD都是等边三角形，
∴AE=AB，AC=AD，∠EAB=∠CAD=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即∠EAC=∠BAD，
∴△AEC≌△ABD，
∴EC=BD；
（2）添加条件：AB=AC，如图2，
∵AE=AB=BE，AC=AD=CD，
∴AE=AB=BE=AC=AD=CD，
∴△ABE≌△ACD；
由（1）得：△AEC≌△ABD，
∴∠BDA=∠ECA，
∴∠ECA+∠BDC=∠BDA+∠BDC，
∵∠BOC=∠OCD+∠BDC，
∴∠BOC=∠ECA+∠ACD+∠BDC=∠BDA+∠BDC+∠ACD=120°；
∴整个图形是轴对称图形，此时∠BOC=120°．

点评 本题考查了等边三角形、轴对称、全等三角形的性质和判定，是常考题型，两个等边三角形能构建一对全等三角形，只需说明其夹角相等即可得出全等．