Question

已知：如图，正方形纸片ABCD的边长是4，点M、N分别在两边AB和CD上（其中点N不与点C重合），沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处．
（1）设AE=x，四边形AMND的面积为 S，求 S关于x 的函数解析式，并指明该函数的定义域；
（2）当AM为何值时，四边形AMND的面积最大？最大值是多少？
（3）点M能是AB边上任意一点吗？请求出AM的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意，点B和E关于MN对称，则ME=MB=4-AM，
由勾股定理得：AM²+AE²=ME²
即AM²+x²=（4-AM）²，
解得AM=2-x²，
作MF⊥DN于F，则MF=AB，且∠MFN=90°，∠BMF=90°，
∵沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处
∴MN⊥BE，
∴∠ABE=90°-∠BMN，
又∵∠FMN=∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE，
在△FMN和△ABE中
，
∴Rt△FMN≌Rt△ABE（ASA），
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-x²+x，
∴S=（AM+DN）×AD，
=×（2-x²+2-x²+x）×4，
=-x²+2x+8．其中0≤x＜4，

（2）∵S=-x²+2x+8=-（x-2）²+10，
∴当x=2时，S_最大=10，
此时，AM=2-×2²=1.5，
答：当AM=1.5时，四边形AMND的面积最大，为10．

（3）不能．∵AM＜ME，BM=ME，
AM+BM=4，
∴2AM＜4，
∴AM＜2，
当AM=2时，A和E重合，
∴AM的取值范围是：0＜AM≤2．
分析：（1）根据点B和E关于MN对称，得出ME=MB=4-AM，根据勾股定理得出AM²+AE²=ME²=（4-AM）²，求出AM，作MF⊥DN于F，推出∠FMN=∠ABE，根据AAS证Rt△FMN≌Rt△ABE，求出FN=AE=x，DN=2-x²+x，根据梯形面积公式求出即可；
（2）把S=-x²+2x+8化成顶点式，即可求出答案；
（3）根据对称求出BM=ME．根据AM＜EM，即可求出答案．
点评：本题综合考差了二次函数及二次函数的最值，对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是能用所学性质进行计算，题目综合性比较强，有一点难度，做此题用了方程思想．