Question

如图，半圆O的直径AB=4，与半圆内切的⊙O₁与AB切于C，设AC=x，⊙O₁的半径为y，则y与x的关系式为________．

Answer 1

y=-x²+x
分析：连接O₁C，O₁O，如图所示，由圆O₁与AB相切，根据切线的性质得到O₁C⊥AB，O₁C为半径y，再由半圆直径AB的长，求出半径OA的长，用OA-AC及AC=x，表示出OC的长，由两圆内切，得到圆心距等于两半径之差，由大圆的半径2与小圆半径y之差表示出O₁O，在直角三角形O₁CO中，利用勾股定理列出关系式，将各自的值代入，化简后即可得到y与x的关系式．
解答：连接O₁C，O₁O，如图所示：

∵圆O₁与AB相切与点C，且圆O₁的半径为y，
∴O₁C⊥AB，O₁C=y，
∵AB=4，
∴OA=2，又AC=x，
∴OC=OA-AC=2-x，
∵圆O₁与圆O内切，
∴圆心距d=OO₁=2-y，
在Rt△O₁CO中，根据勾股定理得：O₁C²+CO²=O₁O²，
即y²+（2-x）²=（2-y）²，
化简得：y=-x²+x．
故答案为：y=-x²+x
点评：此题考查了两圆相切的性质，切线的性质，以及勾股定理，利用了数形结合的思想，当两圆外切时，圆心角等于两半径之和；当两圆内切时，圆心距等于两半径之差，解本题的关键是连接圆心与切点，构造直角三角形，利用勾股定理建立关系式．