Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2=0的两根（k为常数）．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）求证：⊙O的直径长为常数k；
（3）求tan∠FPA的值．

Answer 1

（1）证明：如图，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBD=∠A，
∵PF平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∴△PBD∽△PAE，
∴PB：PA=BD：AE，
∴PA•BD=PB•AE；

（2）证明：如图，
∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．
又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，
∴∠BED=∠BDE．
∴BE=BD．
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2=0的两根（k为常数），
∴AE+BD=k，
∴AE+BD=AE+BE=AB=k，
即⊙O直径为常数k．

（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．
∴∠PBA=90°．
∵∠A=60°．
∴PB=PA•sin60°=PA，
又∵PA•BD=PB•AE，
∴BD=AE，
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2=0的两根（k为常数）．
∴AE•BD=2，
即AE²=2，
解得：AE=2，BD=，
∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，
在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．
在Rt△PBE中，tan∠BPF===2-，
∵∠FPA=∠BPF，
∴tan∠FPA=2-．
分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；
（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；
（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x²-kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．
点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．