题目内容

如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为 $数学公式$ cm²，则六边形ABCDEF的面积为________cm²．

$\text{[math]}$
分析：由正六边形的性质可知∠B=90°，∠BFC=30°，利用已知数据和三角形的面积公式，可求出正六边形的边长，作OH⊥CD，利用三角形的面积公式即可求出△COD的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积．
解答：连接OD，作OH⊥CD，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
由正六边形的性质可知∠B=90°，∠BFC=30°，设BC=x，
∴CF=2x，
∴BF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x，
∵△BCF的面积为 $\text{[math]}$ cm²，
∴ $\text{[math]}$ =18 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ =18 $\text{[math]}$ ，
∴x=6，
∴正六边形的边长为6，
∴OH= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴S_△COD= $\text{[math]}$ •CD•OH= $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$ ，
∴正六边形ABCDEF的面积为6×9 $\text{[math]}$ =54 $\text{[math]}$ cm²，
故答案为：54 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形利用正六边形可分成6个全等的等边三角形，根据等边三角形的面积公式求解是解答此题的关键．