Question

如图，?ABCD中，AB=9，对角线AC与BD相交于点O，AC=12，BD=6

5

．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）求这个平行四边形的面积．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得AO与BO的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可求得△AOB为直角三角形，则可得AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得?ABCD是菱形；
（2）由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求得菱形的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC=12，BD=6

5

，
∴AO=

1

2

AC=6，BO=

1

2

BD=3

5

，
∵在△AOB中，AB=9，
∵6²+（3

5

）²=9²，
即AO²+BO²=AB²，
∴△AOB为直角三角形，
∴∠AOB=90°，
即AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形；

（2）由（1）可知：?ABCD是菱形，即S_菱形ABCD=

1

2

AC×BD=36

5

．

点评：此题考查了菱形的判定与性质与勾股定理的逆定理．注意据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积等于两条对角线的积的一半．