Question

在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．
（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．
（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据CE平分∠ACP，DE∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECP，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OD，可得EO=DO，再有条件AO=CO，可得到四边形ADCE为平行四边形，再证明∠DCE=90°，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形；
（2）利用正方形的判定得出DE⊥AC，进而得出答案．

解答：解：（1）当O为AC的中点则四边形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE=∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC=∠ECP，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OD，
∴OD=OE．
∵AO=CO，EO=DO，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DC、CE是∠ACB与∠ACP的平分线，
∴∠DCE=90°，
∴四边形AECF是矩形；

（2）当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA=90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA=90°，
则DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定等知识，解决问题的关键是证明EO=DO和∠DCF=90°．