Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
（1）OE与OF相等吗？为什么？
（2）探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
（3）在（2）中，当∠ACB等于多少时，四边形AECF为正方形．（不要求说理由）

Answer 1

分析：（1）角平分线到角两边的距离相等，再利用全等三角形即可求解．
（2）探究性问题，归根究底还是对矩形性质的判定，再平行四边形的基础上，加上其对角线平分且相等即可．
（3）正方形的判定，在（2）的基础上，即在矩形的基础上补充对角线垂直即可．

解答：解：（1）如图所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，FH⊥BC，
因为直线EC，CF分别平分∠ACB与∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH，
在△EJO与△FKO中，

∠AOE=∠CON ∠EJO=∠FKO EJ=FK

，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF（3分）

（2）当OA=OC，OE=OF时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形；（3分）

（3）由（2）可知，四边形AECF是矩形，要使其为正方形，再加上对角线垂直即可，即∠ACB=90°（10分）

点评：掌握角平分线到角两边距离相等，以及正方形，矩形的性质及判定定理．