Question

如图，在直角坐标系中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段OM₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，…，OM_n。
（1）写出点M₅的坐标；
（2）求△M₅OM₆的周长；
（3）我们规定：把点M_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的“绝对坐标”，根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来。

Answer 1

解：（1）M₅（-4，-4）；
（2）由规律可知，，，
∴的周长是；
（3）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：
令旋转次数为
① 当点M在x轴上时：M₀（），M₄（），M₈（），M₁₂（），…，
即：点的“绝对坐标”为（）；
② 当点M在y轴上时： M₂，M₆，M₁₀，M₁₄，……，
即：点的“绝对坐标”为；
③ 当点M在各象限的分角线上时：M₁，M₃，M₅，M₇，……，
即：的“绝对坐标”为。