Question

已知：如图1，∠AOB=70°．
（1）如图2，射线OC在∠AOB的内部，OD平分∠AOC，若∠BOD=40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOD=3∠B0C（∠BOC＜45°），且∠AOD=

1

2

∠AOC，请你画出图形，并求∠BOC的度数．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质得出∠AOC=2∠AOD=60°，进而得出∠BOC=∠AOB-∠AOC即可；
（2）①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：i）若射线OD在∠AOC内部，ii）若射线OD在∠AOB外部，
②当射线OD在∠AOB外部时，i）若射线DO在∠AOB内部，ii）若射线OD在∠AOB外部分别求出即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=70°，∠BOD=40°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=70°-40°=30°，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=10°；

（2）设∠BOC=α，
∴∠BOD=3∠BOC=3α，
依据题意，分两种情况：
①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：
i）若射线OD在∠AOC内部，如图2，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=2α，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，
∴α=14°，
∴∠BOC=14°；
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图3，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=

1

3

∠COD=

2

3

α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-

2

3

α=

7

3

α=70°，
∴α=30°，
∴∠BOC=30°；
②当射线OD在∠AOB外部时，
依据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能：
i）若射线DO在∠AOB内部，如图4，
则∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=4α，
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=4α，
∴AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，
∴α=10°，
∴∠BOC=10°
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图5，
则∠COD=∠BOC+∠DOB=4α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=

1

3

∠COD=

4

3

α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-

4

3

α=

5

3

α=70°，
∴α=42°，
∴∠BOC=42°，
综上所述：∠BOC的度数分别是10°，14°，30°，42°．

点评：此题主要考查了角平分线的性质以及分类讨论思想的应用，根据已知正确分射线OD在∠AOB外部或内部得出是解题关键．