Question

【题目】如图：△ABC是等边三角形，AB＝12，E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值为_____．

Answer 1

【答案】3+3

【解析】

连接BE，延长EC到N，使EN＝BE，连接FN，过点A作AG⊥BC于G，过点A作AH⊥FN于H，由等边三角形的性质可得AC＝AB＝12，AE＝EC＝6，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝6＝EN，由旋转的性质可得DE＝EF，∠DEF＝90°，由“SAS“可证△BED≌△NEF，可得∠EBC＝∠ENF＝30°，可得点F在过点N且平行于AG的直线上，当AF⊥FN时，AF的值最小，由直角三角形的性质可求线段AF的最小值．

解：如图，连接BE，延长EC到N，使EN＝BE，连接FN，过点A作AG⊥BC于G，过点A作AH⊥FN于H，

∵△ABC是等边三角形，AB＝12，E是AC中点，AG⊥BC，

∴AC＝AB＝12，AE＝EC＝6，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝=6＝EN，

∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，

∴DE＝EF，∠DEF＝90°，

∵∠BEC＝∠DEF＝90°，

∴∠BED＝∠FEN，且DE＝EF，BE＝EN，

∴△BED≌△NEF（SAS），

∴∠EBC＝∠ENF＝30°，

∴∠GAC＝∠ENF，

∴AG∥NF，

∴点F在过点N且平行于AG的直线上，

∴当AF⊥FN时，AF的值最小，

∵AH⊥FN，∠ENF＝30°，

∴AH＝AN＝（6+6）＝3+3，

∴线段AF的最小值为3+3，

故答案为：3+3．