Question

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°．
（1）求作△AOB的外接圆圆心P，并求出P点的坐标；
（2）若⊙P与y轴交于点D，求D点的坐标；
（3）若CD是⊙P的切线，求直线CD的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）设⊙P与y轴交于D点，连接AD，因为∠AOD=90°，根据圆周角定理可知，AD为⊙O的直径，则圆心P为AD的中点，利用解直角三角形 求OD，再利用中点坐标公式求P点坐标．
（2）在直角三角形ADO中，因为∠ADO=∠ABO=60°，OA=3，然后即可求出OD，即得D点的坐标．
（3）连接PO，先求出C点的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式．

解答：解：（1）连接AD，则圆心P为AD的中点，
在直角三角形ADO中，∠ADO=∠ABO=60°，
∴tan60°=

AO

OD

，则OD=

3

3

=

3

，
∴P点的坐标为（

3

2

，

3

2

）．

（2）在直角三角形ADO中，
∵∠ADO=∠ABO=60°，OA=3，
∴tan60°=

OA

OD

，
∴OD=

3

，
∴D点的坐标为（0，

3

）；

（3）连接PO，则PD=PO；
∵∠PAO=90°-60°=30°，
∠POD=∠PDO=60°，
∵CD是⊙P的切线，
∴∠PDC=90°，
∴∠CDO=30°，
∴在Rt△DCO中，tan30°=

OC

OD

，OD=

3

，
∴OC=1，
∴C点的坐标为（-1，0）；
可设直线CD的解析式为y=kx+b，
将C，D两点的坐标代入解析式，解得

k= 3 b= 3

，
∴直线CD的解析式：y=

3

x+

3

．

点评：本题主要是考查圆的切线性质，圆周角定理，三角形的外接圆及待定系数法．解题的关键是利用数形结合的思想，将形的问题转化为代数方法来解题．