Question

如图，等腰△ABC中，腰AB=a，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E．设k=

5 -1

2

，则DE=（　　）

• A、k²a
• B、k³a
• C、

  a

  k2

• D、

  a

  k3

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答：解：∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵在△ADB中，∠BDC是外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BC=BC：CD，
同理∠DCE=∠BCE=36°
∴∠DEC=36°+36°=72°，∠BDC=72°
∴△CDE∽△ABC，
∴

CD

AB

=

DE

BC

，
设CD=x，则BD=BC=AD=a-x，
∴

a

a-x

=

a-x

x

，
解得：x=

3- 5

2

a或x=

3+ 5

2

a＞AC（舍去），
∴

3- 5 2 a

a

=

DE

a- 3- 5 2 a

，
解得：DE=（

5

-2）a，
∵k³=（

5 -1

2

）³=

5

-2，
∴DE=k³a；
故选B．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形对应边成比例列出等式，注意把不合题意的解舍去．