Question

2010年春季，中国西南五省市遭遇世纪大旱，不少地方的村民饮用水告急，不得不半夜摸黑前往水源处排队取水．如图，一条东西走向的公路连接着相距30千米的A、B两村庄，山洞C处有一出水口，位于A村庄北偏东58°方向，且位于B村庄北偏西24°方向．已知B、C之间也有公路连接，而A、C之间只有一条比较难走的山路．
（1）求山路AC的长（精确到1千米）；
（2）家住A村庄的村民老李准备用马车到出水口C处取水，已知由A→B→C走公路平均每小时能走25千米，由A→C走山路平均每小时只能走18千米．如果仅从时间角度考虑，请你通过计算，帮老李确定走哪条路比较好？

Answer 1

【答案】分析：（1）作出AB边上的高线CH，设AC=x，则在直角△ACH中，根据三角函数即可表示出AH，CH．同理在直角△CBH中，可以用CH表述出BH，根据AH+BH=AB，即可列出方程，即可求得AC的值．
（2）求出通过两条路线所用的时间，即可进行比较．
解答：解：（1）过C作CH⊥AB交AB与H点．
设AC=x，则AH=x•sin58°
CH=x•cos58°，
∴x•sin58°+x•cos58°•tan24°=30
∴x=≈28．
∴AC的长约是28米．

（2）BC==≈16米．
t₁=≈1.8小时，
t₂=≈1.6小时．
∵t₁＞t₂，
因而走A到C路线较好．
点评：一般三角形的问题可以通过作高线转化为直角三角形的问题来解决．