Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，直线与双曲线交于点，与轴交于点．探究：由双曲线与线段围成的区域内（不含边界）整点的个数（点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）．①当时，如图，区域内的整点的个数为_____；②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，则的取值范围是_______

Answer 1

【答案】3 或．

【解析】

①将时代入可得：直线解析式为，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．

①当时，则直线，

解方程得：(舍去)，

∴点B的坐标为(，)，

令，则，得：，

经过点(，)，

观察图形，可知：

区域M内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个，
故答案为：3；

②当直线在OA下方时，

过点(1，-1)时，，，

∴直线的解析式为 ，

令，则，得：，

经过点(，)，

作出图象如图所示：

观察图象可知：当时，区域M内的整点有4个，分别是：（1，0），（2，0），（3，0），（4，0）；

当直线在OA上方时，

∵点(2，2)在函数的图象上，

当直线过(1，2)时，，

∴直线的解析式为，
当直线过(1，3)时，，

∴直线的解析式为 ，

作出图象如图所示：

观察图象可知：当时，区域M内的整点有4个，分别是：（1，1），（1，2），（2，1），（3，1）；

综上所述，区域M内恰有4个整点，b的取值范围是：或．

故答案为：或．