Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1,0）、C，交y轴于点B，对称轴x=-1与x轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式和B、C点的坐标；

（2）设点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，△PBD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）点G在x轴负半轴上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐标；

（4）若此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO,若存在，求直线QC的解析式；若不存在，试说明理由.

 

Answer 1

（1）y=-x2-2x+3，C（-3,0）、B（0,3）；（2）S=－x2-（-3＜x＜0）；（3）G（-4,0）；(4)存在，，或.

【解析】

试题分析：（1）先根据抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，列出关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，得到抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；再解方程-x2-2x+3=0，求出x的值，得到C点的坐标；将x=0代入y=-x2-2x+3，求出y的值，得到B点的坐标；

（2）过点P作PE⊥x轴于点E，根据S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE求出S关于x的函数关系式，再根据点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，得出自变量x的取值范围；

（3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．根据等角对等边得出GB=GA，由此列出方程a2+32=（1-a）2，解方程求出a的值，即可得到G点坐标；

（4）先根据正切函数的定义得出tan∠ABO=，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=，再由直线斜率的意义可知直线QC的斜率|k|=，则k=±．由此可设直线QC的解析式为y=x+n，或y=-x+n，然后将C点坐标（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直线QC的解析式．

试题解析：(1) b=-2，c=3 ，C（-3,0）、B（0,3）

(2)过点P作PE⊥x轴于点E．

S=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=．

将y=－x2-2x+3代入得S=－x2-x+-﹣=－x2-x．

∴-3＜x＜0．

∴S关于x的函数关系式为：S=－x2-（-3＜x＜0）．

（3）G（-4,0）

(4)存在

直线QC解析式为，或.

考点：二次函数综合题．