Question

8．如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C，其顶点为D，对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用对称性可得B（3，0），则利用交点式得抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，所以-3a=3，解得a=1，于是得到抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）分类讨论：当AC=AM时，易得点M₁（0，3），如图；②当CM=CA时，先计算出AC=$\sqrt{10}$，再以C点为圆心，CA为半径画弧交y轴于M₂，M₃，如图，易得M₂（0，$\sqrt{10}$-3），M₃（0，-$\sqrt{10}$-3）．

解答 解：（1）∵点A（-1，0）和点B关于直线x=1对称，
∴B（3，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴-3a=3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）当AC=AM时，点M₁与点C关于x轴对称，则M₁（0，3），如图；
②当CM=CA时，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
以C点为圆心，CA为半径画弧交y轴于M₂，M₃，如图，则OM₂=$\sqrt{10}$-1，OM₃=OC+CM₃=3+$\sqrt{10}$，则M₂（0，$\sqrt{10}$-3），M₃（0，-$\sqrt{10}$-3）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，3），（0，$\sqrt{10}$-3），（0，-$\sqrt{10}$-3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键是利用等腰三角形的性质画出点M的坐标．