Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，E为AC的中点，BE交⊙O于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）①当∠B=______时，四边形AODE是正方形；

②在①的条件下，若OA=2，线段BF的长为______．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①45°；②．

【解析】

（1）连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，则由E是AC的中点得到ED=EA，所以∠EAD=∠EDA，而∠OAD=∠ODA，所以∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA，于是得到∠EDO=∠EAO=90°，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；

（2）①先判断出AE=OA，进而判断出AB=AC，即可得出结论；

②由OA=2结合①结论用勾股定理可得BE=2，再由△AFB～△EAB计算BF长即可

（1）连结AD，如图1，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴△ADC为直角三角形，

∵E是AC的中点，

∴ED=AC=EA，

∴∠EAD=∠EDA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA，

∴∠EDO=∠EAO=90°，

∴ED⊥OD，

∴DE为⊙O的切线；

（2）①当∠ABC=45°时，四边形AODE是正方形，理由如下：

∵∠ABC=45°，∠BAC=90°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=AB，

∵EC=EA，AO=BO，

∴AE=AO，

由（1）知，DE是⊙O的切线，

∵AB是⊙O的直径，且∠BAC=90°，

∴AC是⊙O的切线，

∴AE=DE，

∴AE=DE=AO=DO，

∴四边形AODE是菱形，

又∵∠EAO=90°，

∴菱形AODE是正方形，

故答案为：45°；

②如图2，连接AF，

由①得四边形AODE是正方形，

∵OA=2，

∴AE=2，AB=4，BE=，

∵AB是直径，

∴AF⊥BE，

∴△AFB～△EAB，

∴，即：，

∴BF=．

故答案为：