Question

已知以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦CD交小圆于点E、F，OE、OF的延长线分别交大圆于点A、B．
（1）求证：CE=DF；
（2）求证：AC=BD；
（3）若CD=4，EF=2，求这两个圆围成圆环的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）过点O作OG⊥CD于点G，根据垂径定理即可得出结论；
（2）连接OC、OD，则△OCD和△OEF都是等腰三角形，有∠OCD=∠ODC，∠OEF=∠OFE，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，得∠AOC=∠BOD，再由在同圆中相等的圆心角对的弧相等得AC=BD；
（3）根据勾股定理求出OC及OE的长，由S_圆环=S_大圆-S_小圆即可得出结论．

解答：解：（1）过点O作OG⊥CD于点G，
∵CD是两同心圆的弦，
∴CG=DG，EG=FG，
∴CG-EG=DG-FG，即CE=DF；

（2）连接OC、OD，
∵OC=OD，OE=OF，
∴∠OCD=∠ODC，∠OEF=∠OFE，
∠OEF=∠C+∠COA=∠D+∠BOD=∠OFE，
∴∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD；

（3）∵CD=4，EF=2，CG=DG，EG=FG，
∴CG=2，EG=1，
∴OC²=CG²+OG²=2²+OG²，OE²=EG²+OG²=1²+OG²，
∴S_圆环=S_大圆-S_小圆=πOC²-πOE²=π（OC²-CG²）=π（2²+OG²-1²-OG²）=3π．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．