Question

【题目】如图，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）E的坐标是； （3）P点的坐标是（-2，-3）.

【解析】试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；

（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；

（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．

试题解析：解：（1）由题意得： ，解得： ，∴；

（2）由（1）知：C（0，﹣2），则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5．

而AB2=25=AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵EF∥AC，∴EF⊥BC．∵S△CEF=2S△BEF，∴CF=2BF，BC=3BF．∵EF∥AC，∴ ．

∵AB=5，∴BE=，OE=BE﹣OB=，故E（，0）；

（3）设P点坐标为（m， ）．已知A（﹣4，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=kx﹣2，则有：﹣4k﹣2=0，∴k=﹣，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣2，

∴Q点坐标为（m，﹣ m﹣2），则PQ=（﹣m﹣2）﹣（）=﹣m2﹣2m=，∴当m=﹣2，即P（﹣2，﹣3）时，PQ最大，且最大值为2．

故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（﹣2，﹣3）．