Question

阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：

2

3

=

3-1

3

=1-

1

3

；

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

15

=

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

），等等．解答下列问题：
（1）已知a=

2011

2012

，b=

2012

2013

，c=

2013

2014

，比较a，b，c的大小．
（2）求

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

342

+

1

380

的值．
（3）求

1

4

+

1

12

+

1

24

+

1

40

+…+

1

2(n-1)n

+

1

2n(n+1)

的值．
（4）求

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4n2-1

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：阅读型

分析：（1）把a，b，c进行变形，比较即可；
（2）原式变形后，利用拆项方法计算即可得到结果；
（3）原式提取

1

2

，利用拆项方法计算即可得到结果；
（4）原式变形后，利用拆项方法计算即可得到结果．

解答：解：（1）a=

2011

2012

=1-

1

2012

，b=

2012

2013

=1-

1

2013

，c=

2013

2014

=1-

1

2014

，
∵

1

2012

＞

1

2013

＞

1

2014

，
∴-

1

2012

＜-

1

2013

＜-

1

2014

，即1-

1

2012

＜1-

1

2013

＜1-

1

2014

，
则a＜b＜c；
（2）原式=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

19×20

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

19

-

1

20

=

19

20

；
（3）原式=

1

2

[

1

2

+

1

6

+…+

1

n(n+1)

]=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

；
（4）原式=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键．