Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（3，0），（0，5）．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为1：3两部分，求直线CD的解析式；
（3）设点P沿O-A-B-C的方向运动到点C（但不与点O、C重合），求△OPC的面积y与点P所行路程x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：点B的横坐标和点A的横坐标相等，点B的纵坐标和点C的纵坐标相等，所以可以求出B点的坐标；
（2）设直线CD的解析式为y=kx+b，利用已知条件求出D点的坐标，再把C、D的横纵坐标分别代入求出k和b即可；
（3）此小题需要分3种情况讨论：①当点P在OA上运动时，设P（x，0）；②当点P在AB上运动时，设P（3，3-x）；③当点P在BC上运动时，设P（11-x，5），利用三角形的面积公式，再分别表示出△OPC的面积y与点P所行路程x之间的函数关系式及自变量x的取值范围即可．

解答：解：（1）B（3，5）；

（2）如图1，
∵长方形OABC中，A（3，0），B（3，5），C（0，5），
∴OA=3，AB=5，BC=3，OC=5，
∴长方形OABC的周长为16，
∵直线CD分长方形OABC的周长分为1：3两部分，
∴CB+BD=4，CO+OA+AD=12，
∴AD=4，
∴D（3，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴

5=b 4=3k+b.

，
∴k=-

1

3

，b=5，
∴直线CD的解析式为：y=-

1

3

x+5；

（3）①当点P在OA上运动时，P（x，0）．
∴S△OPC=

1

2

OC•OP=

5

2

x，
∴y与x的函数关系式为y=

5

2

x(0＜x＜3)，
②当点P在AB上运动时，P（3，3-x），
∴S△OPC=

1

2

OC•|xP|=

1

2

×5×3=

15

2

，
∴y与x的函数关系式为y=

15

2

(3≤x≤8)，
③当点P在BC上运动时，P（11-x，5），
∴PC=|11-x|=11-x．
∴S△OPC=

1

2

OC•PC=

5

2

(11-x)=-

5

2

x+

55

2

 (8＜x＜11)，
∴y与x的函数关系式为y=-

5

2

x+

55

2

 (8＜x＜11)．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，利用一次函数确定线段的长度，根据三角形的面积公式建立函数关系，也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．