Question

如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．
（1）求证：OF•DE=OE•2OH；
（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer 1

（1）证明：∵BD是直径，∴∠DAB=90°。
∵FG⊥AB，∴DA∥FO。∴△FOE∽△ADE。
∴，即OF•DE=OE•AD。
∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD=2OH。∴OF•DE=OE•2OH。
（2）解：∵⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6。
代入（1）中，得AD=12。∴OH=AD=6。
在Rt△ABC中，OB=2OH，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°。
∴BH=BO•sin60°=12×。
∴S_阴影=S_扇形GOB﹣S_△OHB=。

解析