Question

【题目】如图，在中， ， ， 的高与角平分线相交点，过点作于，交于．下列说法：①；②；③；④；⑤.正确的是_____.

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】（1）∵CH⊥AE于点G，∠ACB=90°，

∴∠CGE=∠ACB=90°，

∴∠BCH+∠CEA=∠CEA+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠BCH；（故说法①成立）

（2）如下图，连接BF，过点F作FN⊥BC于点N，

∵AB=AC，AD是高，

∴AD平分∠ACB，

又∵AE平分∠BAC，且AE交CD于点F，

∴BF平分∠ABC，

∴DF=NF，

又∵NF<EF，

∴DF<EF；（故说法②错误）

（3）∵AC=BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，

∴∠ACF=∠CBH=45°，

又∵由（1）可知∠CAE=∠BCH，

∴△CAF≌△BCH，

∴CF=BH.

∵∠CAE=∠BAE，∠ACE=∠ADF=90°，

∴∠CEF=∠AFD=∠CFE，

∴CE=CF，

∴CE=BH；（故说法③正确）

（4）如下图，过点E作EM⊥AB于点M，

∵AE平分∠BAC，∠ACB=90°，

∴EM=EC，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴AB=AC，

∵S△ACE=AC·CE，S△ABE=AB·EM，

∴S△ABE=S△ACE；（故说法④错误）

（5）如下图，过点F作FP⊥AC于点P，

∵CD是△ABC的高，AF平分∠BAC，

∴FP=FD，

∴S△ACF ：S△ADF=AC：AD，

∵AC=BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，

∴AC：AD=，

又∵S△ACF=CF·AD，S△ADF=DF·AD，

∴CF：DF= S△ACF ：S△ADF=AC：AD=，

∴CF=DF；（故说法⑤正确）

综上所述，正确的说法是①③⑤.

故答案为：①③⑤.