题目内容

如图①，△ABC为等边三角形，周长为p．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边的中点，连接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用p表示△D₁E₁F₁的周长是；
（2）当D₂，E₂，F₂分别是△D₁E₁F₁三边的中点，如图②，则△D₂E₂F₂的周长是；（用含p的式子表示）
（3）按照上述思路探索下去，当D_n，E_n，F_n分别是△D_n-1E_n-1F_n-1三边的中点时（n为正整数），则D_nE_nF_n的周长是______．（用含n、p的式子表示）

解：（1）解：∵点D₁、E₁、F₁分别是AB、BC、AC的中点，
∴D₁E₁= $\text{[math]}$ AC，D₁F₁= $\text{[math]}$ BC，E₁F₁= $\text{[math]}$ AB，
∴△D₁E₁F₁的周长是 $\text{[math]}$ （AB+BC+AC）= $\text{[math]}$ p，
故答案为： $\text{[math]}$ ；

（2）由（1）可知△D₂E₂F₂的周长是△D₁E₁F₁的周长的一半；
即为 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ；

（3）按照上述思路探索下去，每一个新的小三角形都是前一个的 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半；
（2）由（1）可知则△D₂E₂F₂的周长是△D₁E₁F₁的周长的一半；
（3）按照上述思路探索下去，当D_n，E_n，F_n分别是△D_n-1E_n-1F_n-1三边的中点时（n为正整数），则D_nE_nF_n的周长是 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

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如图1，△ABC为等边三角形，面积为1．D、E、F分别是△ABC三边上的点，且AD=BE=CF=

AB，连接DE，EF，FD，可得△DEF，并记△DEF的面积为S₁；当AD=BE=CF=

AB时，如图2，并记△DEF的面积为S₂；按照上述思路探索下去，当AD=BE=CF=

AB时，△DEF的面积S₉=

（2013•南平模拟）在△ABC中，D为AC的中点，将△ABD绕点D顺时针旋转α°（0＜α＜360）得到△DEF，连接BE、CF．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BE与CF有何数量关系？证明你的结论﹔
（2）若△ABC为等边三角形，当α的值为多少时，ED∥AB？
（3）若△ABC不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立．（不必证明，不再添加其它的字母和线段）

已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．

探索题
（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，D为AC上一点，以BD为一边作等边△DBE，连接AE，试确定AC、AD、AE之间的关系并证明你的猜想．
（2）如果D为AC延长线上一点，如图2，试确定AC、AD、AE之间的关系，并证明你的猜想．

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=

S，△D₁E₁F₁的面积S₁=

S．
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=

；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=

．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=

AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是

三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=

；若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=