Question

如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．
求证：AC+CD=AB．

Answer 1

分析：过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE=DC，根据勾股定理求出AE=AC，求出∠B=45°，求出∠EDB=∠=45°，推出DE=BE=DC，代入即可求出答案．

解答：证明：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠A的平分线，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AC²=AD²-DC²，
∵AD=AD，DE=DC，
∴AE=AC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°=∠B，
∴BE=DE=DC，
∴AB=AE+BE=AC+CD，
即AC+CD=AB．

点评：本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点的综合运用，关键是正确作辅助线后求出DE=BE=DC和AE=AC．