Question

如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂，…，∠A₂₀₁₃BC的平分线与∠A₂₀₁₃CD的平分线交于点A₂₀₁₄，得∠A₂₀₁₄CD，则∠A₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：规律型

分析：利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A₁=

1

2

∠A，进而可求∠A₁，由于∠A₁=

1

2

∠A，∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，…，以此类推可知∠A₂₀₁₄=

1

22014

∠A=

α

22014

°．

解答：解：解：∵A₁B平分∠ABC，A₁C平分∠ACD，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CA=

1

2

∠ACD，
∵∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
即

1

2

∠ACD=∠A₁+

1

2

∠ABC，
∴∠A₁=

1

2

（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，…，
以此类推可知∠A₂₀₁₄=

1

22014

∠A=

α

22014

°．
故答案为：

α

22014

°．

点评：本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A₁=

1

2

∠A，并能找出规律．