Question

如图1，四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD
（1）求证：PA²+PC²=PB²+PD²
（2）如图2，当点A在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？说明理由．
（3）当点A在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？（不必说明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据PA²-PB²=AB²=CD²=PD²-PC²，移项即可；
（2）过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，可证四边形ABFE和CDEF为矩形，则AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分别求PA²，PC²，PB²，PD²，再比较PA²+PC²与PB²+PD²即可；
（3）画出图形，把问题转化到直角三角形中，由勾股定理分别求PA²，PC²，PB²，PD²．
解答：（1）证明：在Rt△ABP中，由勾股定理，得PA²-PB²=AB²，
同理可得PD²-PC²=CD²，
由矩形的性质可得AB=CD，
∴PA²-PB²=PD²-PC²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

（2）成立．
过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，
则四边形ABFE和CDEF为矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
则AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

（3）成立．如图，由勾股定理可证PA²+PC²=PB²+PD²．
点评：本题考查了勾股定理及矩形的性质．关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理分别表示边长的平方．