Question

【题目】如图所示，某教学活动小组选定测量小山上方某信号塔PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角为45°，信号塔低端Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到处，测得信号塔顶端P的仰角为68°．求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈ 0.93，cos68° ≈ 0.37，tan68° ≈ 2.48，tan31° ≈ 0.60，sin31° ≈ 0.52，cos31°≈0.86）

Answer 1

【答案】信号塔PQ的高度约为67.0米

【解析】延长PQ交直线AB于点E，连接AQ，设PM的长为x米，先由三角函数得出方程求出PM，再由三角函数求出QM，得出PQ的长度即可.

解：延长PQ交直线AB于点M，

则∠PMA＝90°，设PM的长为x米，根据题意，

得∠PAM＝45°，∠PBM＝68°，∠QAM＝31°，

AB＝100，∴在Rt△PAM中，AM＝PM＝x．

BM＝AM－AB＝x－100，

在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝，

即tan68°＝．

解得x ≈ 167.57．∴AM＝PM ≈ 167.57．

在Rt△QAM中，∵tan∠QAM＝，

∴QM＝AM·tan∠QAM＝167.57×tan31°≈100.54．

∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0（米）．

因此，信号塔PQ的高度约为67.0米．

“点睛”本题考查直角三角形的应用、三角函数；由三角函数得出方程是解决问题的关键，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的边长是解答此类题的一般思路.