题目内容

【题目】如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点AB重合的动点,PCAB,点MOP中点.

1)求证:四边形OBCP是平行四边形;

2)填空:

①当∠BOP   时,四边形AOCP是菱形;

②连接BP,当∠ABP   时,PC是⊙O的切线.

【答案】(1)见解析;(2)120°;②45°

【解析】

1)由AAS证明CPM≌△AOM,得出PC=OA,得出PC=OB,即可得出结论;
2)①证出OA=OP=PA,得出AOP是等边三角形,∠A=AOP=60°,得出∠BOP=120°即可;
②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°,由等腰三角形的性质得出∠ABP=OPB=45°即可.

1)证明:∵PCAB

∴∠PCM=∠OAM,∠CPM=∠AOM

∵点MOP的中点,

OMPM,在CPMAOM中,

∴△CPM≌△AOMAAS),

PCOA

AB是半圆O的直径,

OAOB

PCOB

PCAB

∴四边形OBCP是平行四边形.

2)解:①∵四边形AOCP是菱形,

OAPA

OAOP

OAOPPA

∴△AOP是等边三角形,

∴∠A=∠AOP60°

∴∠BOP120°

故答案为:120°

②∵PC是⊙O的切线,

OPPC,∠OPC90°

PCAB

∴∠BOP90°

OPOB

∴△OBP是等腰直角三角形,

∴∠ABP=∠OPB45°

故答案为:45°

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