Question

【题目】已知如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向向终点D匀速运动，速度为cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向向终点C匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F．设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】(1) t=或t=5 (2) S= (3) t=3或t=

【解析】

（1），根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10cm，①当AP=PO=t，过P作PM⊥AO，从而得到AM，证明△APM∽△ACD，根据相似三角形的性质得到AP=t的值，再根据题意直接得到第二种满足题意的t值；

（2），过点O作OH⊥BC交BC于点H，根据矩形的性质证明△DOP≌△BOE，得到BE=PD=8-t，从而得到△BOE的面积；

根据FQ∥AC，证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积；

（3），由（2）可得五边形OECQF的面积，根据S五边形OECQF：S△ACD=9:16列方程，对方程进行求解即可得出结论.

（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，

∴AC=10cm，

①当AP=PO=t，如图1，

过P作PM⊥AO，

∴AM=AO=.

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ACD，

∴，

∴AP=t=；

②当AP=AO=t=5时，△AOP为等腰三角形.

综上所述，当t为或5时，△AOP是等腰三角形.

（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=CD=AB=3cm．

由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，

∴△DOP≌△BOE，

∴BE=PD=8-t，

则S△BOE=BE·OH=×3×(8-t)=12-t.

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC，相似比为，

∴，

∵S△DOC=S矩形ABCD=×6×8=12，

∴S△DFQ==，

∴S五边形OECQF=S△DBC-S△BOE-S△DFQ=

；

∴S与t的函数关系式为S=；

（3）存在.

∵S△ACD=×6×8=24，

∴S五边形OECQF：S△ACD=():24=9:16，

解得t=3或t=，

∴t=3或时，S五边形OECQF:S△ACD=9:16.