题目内容
（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E，F分别是AD、BC的中点，连接EF，分别交AC、BD于点M，N，试判断△OMN的形状，并加以证明；（提示：利用三角形中位线定理）（2）如图2，在四边形ABCD中，若AB=CD，E，F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角？若有，请直接写出结论：______；
（3）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB=CD，E，F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，与BA的延长线交于点M，若∠FEC=45°，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．
【答案】分析：（1）先得出结论，再进行证明，取AB的中点H，连接HF，HE，根据已知条件，求得∠FMC=∠HFE，同理可得∠END=∠HEF，由AC=BD，从而得出∠END=∠FMC，则△OMN是等腰三角形；
（2）连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；
连接EG、GF、FH、EH；首先证四边形EGFH是菱形（利用三角形中位线定理证四边相等）
然后根据菱形对角线平分对角，得到∠GEF=∠HEF；
易知EG∥BM，HE∥CN，∴∠GEF=∠BMF，∠CNF=∠HEF，∴∠BMF=∠CNF．
（3）得结论：点M在以AD为直径的圆外，
由上面一题得，∠M=∠AEM=45°，根据直角三角形的斜边大于直角边，得ME＞AE，从而得出结论．
解答：
解：（1）结论：△OMN是等腰三角形（1分）
证明：如图1，取AB的中点H，连接HF，HE
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴HF∥AC，
（2分）
∴∠FMC=∠HFE；
同理，HE∥BD，
，
∴∠END=∠HEF；
又∵AC=BD，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠END=∠FMC，（3分）
∴△OMN是等腰三角形．
（2）正确画图（如图2）（4分）
连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；
连接EG、GF、FH、EH；
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴EG=
AB，GF=
CD，FH=
AB，EH=
，
∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
∴∠GEF=∠HEF；
∵EG∥BM，
∴∠GEF=∠BMF，
∵HE∥CN，
∴∠CNF=∠HEF，
∴∠BMF=∠CNF．（5分）
（3）点M在以AD为直径的圆外（6分）
证明：如图3，由（2）的结论，∠M=∠FEC，
∵∠AEM=∠DEF，
∴∠M=∠DEF=45°，
∴∠MAD=90°
∴ME＞AE，
又∵E是AD中点，
∴点M在以AD为直径的圆外．（7分）
点评：本题考查的知识点：三角形中位线定理，菱形对角线平分对角，是一道综合性的题目，难度较大，不容易掌握．
（2）连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；
连接EG、GF、FH、EH；首先证四边形EGFH是菱形（利用三角形中位线定理证四边相等）
然后根据菱形对角线平分对角，得到∠GEF=∠HEF；
易知EG∥BM，HE∥CN，∴∠GEF=∠BMF，∠CNF=∠HEF，∴∠BMF=∠CNF．
（3）得结论：点M在以AD为直径的圆外，
由上面一题得，∠M=∠AEM=45°，根据直角三角形的斜边大于直角边，得ME＞AE，从而得出结论．
解答：
解：（1）结论：△OMN是等腰三角形（1分）证明：如图1，取AB的中点H，连接HF，HE
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴HF∥AC，
（2分）∴∠FMC=∠HFE；
同理，HE∥BD，
，∴∠END=∠HEF；
又∵AC=BD，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠END=∠FMC，（3分）
∴△OMN是等腰三角形．
（2）正确画图（如图2）（4分）
连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；连接EG、GF、FH、EH；
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴EG=
AB，GF=CD，FH=AB，EH=，∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
∴∠GEF=∠HEF；
∵EG∥BM，
∴∠GEF=∠BMF，
∵HE∥CN，
∴∠CNF=∠HEF，
∴∠BMF=∠CNF．（5分）
（3）点M在以AD为直径的圆外（6分）
证明：如图3，由（2）的结论，∠M=∠FEC，
∵∠AEM=∠DEF，
∴∠M=∠DEF=45°，
∴∠MAD=90°
∴ME＞AE，
又∵E是AD中点，
∴点M在以AD为直径的圆外．（7分）
点评：本题考查的知识点：三角形中位线定理，菱形对角线平分对角，是一道综合性的题目，难度较大，不容易掌握．
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