Question

如图所示，AB是⊙O的直径，C为

AE

的中点，CD上AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF=CF．

Answer 1

分析：首先连接BC，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，又由CD⊥AB，易证得∠ACF=∠B，由C为

AE

的中点，可得∠B=∠CAE，继而可得∠ACF=∠CAE，根据等角对等边的性质，可证得AF=CF．

解答：证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACF=∠B，
∵C为

AE

的中点，
∴

AC

=

CE

，
∴∠B=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAE，
∴AF=CF．

点评：此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．