Question

如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线经过C、B两点，与x轴的另一交点为D。

（1）点B的坐标为（       ，       ），抛物线的表达式为       .
（2）如图2，求证：BD//AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长。

Answer 1

（1）（6，2）（2）见解析（3）8

解：（1）（6，2）；。
（2）证明：令，即，解得x=2或x=7。
∴D（7，0）。
∴BC=AC=，BD=，CD=5。∴。
∴∠CBD=90⁰，即BD⊥BC。
又∵ AC⊥BC，∴BD//AC。

（3）连接AB，BP，
∵AC⊥BC，BC=AC=，
∴∠ACB=90⁰，∠ABC=45⁰，∠APB=∠ACB=45⁰，AB=。
∴∠ABQ=∠APB。
又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB。
∴，即，解得AP=8。

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△CEB（AAS），则
CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6，∴B（6，2）。
将B（6，2），C（2，0）代入，得
，解得。
∴抛物线的表达式为。
（2）应用勾股定理求出BC，BD和CD的长，根据勾股定理逆定理得∠CBD=90⁰，即BD⊥BC，从而由AC⊥BC，得到BD//AC。
（3）连接AB，BP，通过证明△ABQ∽△APB得求解。
别解：
①过点C作CH⊥AQ于点H，由垂径定理和射影定理求解。
②由勾股定理求得延长BC交⊙O于点R，由相交弦定理求解。