Question

【题目】已知：如图，在平行四边形中，G、H分别是、的中点，E、O、F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G、E、H、F.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当平行四边形满足_______条件时，四边形是菱形；

（3）若，探究四边形的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）四边形是矩形，理由见解析

【解析】

（1）连接AC，由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点，证出GF为△AOD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，得出EH＝GF，EH∥GF，即可得出结论；

（2）连接GH，证出四边形ABHG是平行四边形，再证明GH⊥EF，即可得出平行四边形GEHF是菱形；

（3）由（2）得：四边形ABHG是平行四边形，得出GH＝AB，证出GH＝EF，即可得出四边形GEHF是矩形.

解：（1）连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴BD的中点在AC上，

∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，

∴E、F分别为OB、OD的中点，

∵G是AD的中点，

∴GF为△AOD的中位线，

∴GF∥OA，GF＝OA，

同理：EH∥OC，EH＝OC，

∴EH＝GF，EH∥GF，

∴四边形GEHF是平行四边形；

（2）当ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；

理由：连接GH，

则AG＝BH，AG∥BH，

∴四边形ABHG是平行四边形，

∴AB∥GH，

∵AB⊥BD，

∴GH⊥BD，

∴GH⊥EF，

∴平行四边形GEHF是菱形，

故答案为：AB⊥BD；

（3）四边形GEHF是矩形；

理由：由（2）得，四边形ABHG是平行四边形，

∴GH＝AB，

∵BD＝2AB，

∴AB＝BD＝EF，

∴GH＝EF，

∴四边形GEHF是矩形．