Question

如图，A（－5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．

（1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP=15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

解：∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3。

又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）。           

（2）分两种情况考虑：

①当点P在点B右侧时，如图2，

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO==。此时t=4+    

②当点P在点B左侧时，如图3，

由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，故OP==3。此时，t=4+3    

∴t的值为4+或4+3

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：

①当⊙P与BC相切于点C时，有

∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1。               

②当⊙P与CD相切于点C时，有

PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4。                    

③当⊙P与AD相切时，由题意，得

∠DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC²=PA²=（9－t）²，PO²=（t－4）²。