Question

如图，△ABC中，∠B=90°，0为AB上一点，以0为圆心，以OB为半径的圆切AC于D点，交AB于E点，AD=2，AE=1，求CD．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OD、DE、DB，可证明△ADE∽△ABD，即可得出

AD

AB

=

AE

AD

，设⊙O半径为r，即可得出r的值，再根据切线长定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的长即可．

解答：解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，
∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，
∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴

AD

AB

=

AE

AD

，
∵AD=2，AE=1，
∴

2

1+2r

=

1

2

，
∴r=

3

2

，
∵∠B=90°，∴CB为⊙O切线，
∴CD=CB，
∴CB²+AB²=AC²，
∴CD²+4²=（2+CD）²，
∴CD=3．
答：CD的长度为3．

点评：本题考查了切线的性质，以及相似三角形、勾股定理和切线长定理，要注意知识点之间的综合运用．