Question

如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=

1

2x

（x＞0）上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．
（1）求证：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．

Answer 1

分析：（1）过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足为D、C，将求线段AF、BE的问题转化到等腰直角三角形△FCA，△DBE中求斜边的长，再做乘法，利用点P（x₀，y₀）在双曲线y=

1

2x

上，列式求解；
（2）由A、B两点坐标可知，直线AB解析式的一次项系数为-1，平行于AB的直线l的解析式为y=-x+b，将直线l的解析式与双曲线解析式联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，当l与双曲线的唯一公共点时，△=0求b的值即可．

解答：（1）证明：过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足为D、C，
则△AOB，△FCA，△DBE为等腰直角三角形，
设P（x₀，y₀），则FC=y₀，DE=x₀，AF=

2

y₀，BE=

2

x₀，
∴AF•BE=

2

y₀•

2

x₀=2x₀y₀，
又y₀=

1

2x0

，
即2x₀y₀=1，
∴AF•BE=1；

（2）解：平行于AB的直线l的解析式为y=-x+b，设l与双曲线的唯一公共点Q坐标为（x，y），
联立

y=-x+b y= 1 2x

，得2x²-2bx+1=0，
由△=4b²-8=0，得b=

2

（-

2

舍去），
∴x=

2

2

，y=

2

2

，
即Q点的坐标为（

2

2

，

2

2

）．

点评：此题主要考查反比例函数的性质，告诉我们注意通过解方程组求出交点坐标，同时要注意运用数形结合的思想．