Question

如图13，已知直线y=4-x与反比例函数y= mx(m>0,x>0)的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点.

(1)如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x<mx的解集；

(2)是否存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∴点A的横坐标为1，点A在直线

y=4-x 的图象上，y=4-1=3,

∴点A的坐标为（1，3），

点A在反比例函数y= mx(m>0,x>0)的图象的

图象上，m = xy =3 ,

     ∵点A、B是直线y=4-x与反比例函数

y= 3x(x>0)的图象的交点，∴4-x= 3x,

解得x=1或x=3,点B的横坐标为3，∴4-x< mx的解集为  x<1或x>3 。

（2）存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)。

连结AP、BP，分别过点A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F。

4-x=mx,x2-4x+m=0, 令a、b是该方程的解，则a + b = 4, b = 4 – a ，

令点A的坐标为（a,4-a），则点B的坐标为（4-a,a）；新-课 -标 -第 -一 -网

以AB为直径的圆经过点P（1，0），则∠APB=90º，

∠APB+∠EPA+∠FPB=180 º ，∠EPA+∠FPB=90º，∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，

∴∠AEP=∠PFB=90º，∠EAP+∠EPA=90º，∠EPA=∠FPB，△AEP∽△PFB，

  AEEP= PFFB, 4-a1-a= 4-a-1a,   a=2+ 102    或    a=2- 102

4-a=2- 102        4-a=2+ 102，

∵点A（2+ 102，2- 102） 或（2- 102，2+ 102）在反比例函数

y= mx(m>0,x>0)的图象上，∴ m =(2+ 102)(2- 102)= 32.