Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)求证：EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

分析：对于(1)，利用角平分线和平行线的知识即证．(2)点O在运动，改变OA与OC的长度，要想四边形AECF是矩形，利用矩形对角线的性质即可探索出结论． 　　解：(1)证明：因为CE平分∠BCA， 　　所以∠BCE＝∠ACE． 　　又因为MN∥BC，所以∠BCE＝∠CEF． 　　所以∠CEF＝∠ACE．所以EO＝CO． 　　同理，FO＝CO．所以EO＝FO． 　　(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 　　因为EO＝FO，点O是AC的中点， 　　所以四边形AECF是平行四边形． 　　又因为∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠FCD， 　　所以∠ACE＋∠ACF＝×180°＝90°， 　　即∠ECF＝90°． 　　所以四边形AECF是矩形． 　　点评：本题看似无从下手，但认真阅读题目后，联想角平分线和平行线、矩形对角线的性质即可求解．