Question

已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC=∠BCE，等量代换∠OEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代换有OE=OF；
（2）由于O是CD中点，故OD=OC，而OE=OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分线，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，从而可证四边形DECF是矩形．

解答：证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF，（1分）
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，（1分）
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，（1分）
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；（2分）

（2）∵点O为CD的中点，
∴OD=OC，
又OE=OF，
∴四边形DECF是平行四边形，（2分）
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE=

1

2

∠BCD，∠DCF=

1

2

∠DCG，（2分）
∴∠DCE+∠DCF=

1

2

(∠BCD+

1

2

∠DCG)=90°，（2分）
即∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．（1分）

点评：本题利用了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边、等量代换、平行四边形的判定、矩形的判定．