Question

在矩形纸片ABCD中，AB=3

3

，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）BE的长为

 

，QF的长为

 

；
（2）四边形PEFH的面积为

 

．

Answer 1

分析：（1）由于在Rt△PBE中，∠BPE=30°，设BE=x，然后根据三角函数的定义用x分别表示PE，PB，而BE+EC=BC，由此可以得到关于x的方程，解方程即可求出BE，接着求出PB，PA，PH，最后根据已知利用三角函数即可QF的值；
（2）根据已知可以得到四边形PEFH的面积等于梯形EFCD的面积减去三角形HFQ的面积，所以分别求出梯形EFCD的面积和三角形HFQ的面积即可．

解答：解：（1）设BE=x，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，
∴PE=2x，PB=

3

x，
由题意得EC=EP=2x，
∵BE+EC=BC，
∴3x=6，x=2，即BE=2，
∴EC=4，PB=2

3

∴PA=

3

，
在Rt△APH中，∠APH=60°，
∴AH=3，PH=2

3

∴HQ=PQ-PH=

3

，
在Rt△HQF中，∠QHF=30°，
tan∠QHF=

QF

HQ

，
∴QF=1；

（2）∵S_梯形FECD=

1

2

（1+4）×3

3

=

15

2

3

，
∴S_△HFQ=

3

2

，
∴S_{四边形PEFH}=S_梯形FECD-S_△HFQ=

15

2

3

-

3

2

=7

3

．

点评：此题考查综合解直角三角形，矩形的性质及翻折变换等知识点的掌握情况．